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耀華中學盧翔
函數零點問題是函數問題中一類比較特殊的問題,出現在必修一,屬於函數的應用部分內容。針對這部分內容的復習,應該抓住書上提到的兩個原理,即零點存在定理和零點交點轉化原理。掌握好這兩個原理,能夠幫助我們有效解決好有關函數零點的兩大類問題。下面我們先來看幾個例題:
例1:(2010年天津卷理2)函數f(x)=2x+3x的零點所在的一個區間是( )
A、(-2,-1) B、(-1,0)
C、(0,1) D、(1,2)
分析及解:應用零點存在定理,即如果函數y=f(x)在區間[a,b]上的圖象是連續不斷的一條曲線,並且有f(a)·f(b)<0,那麼,函數y=f(x)在區間(a,b)內必有零點。所以只需驗證端點函數值,比較其正負即可。
由函數f(x)的解析式可知,f(x)單調遞增,且f(0)=1,f(-1)=--,故選B。
例2:(2010年天津卷文4)函數f(x)=ex+x-2的零點所在的一個區間是( )
A、(-2,-1) B、(-1,0) C、(0,1) D、(1,2)
分析及解:由函數f(x)的解析式可知,f(x)單調遞增,且f(0)=-1,f(1)=e-1>0,故選C。
例3:(2009年天津卷理4)設函數f(x)=-x-lnx(x>0),則y=f(x)( )
A、在區間(-,1),(1,e)內均有零點
B、在區間(-,1),(1,e)內均無零點
C、在區間(-,1)內有零點,在區間(1,e)內無零點
D、在區間(-,1)內無零點,在區間(1,e)內有零點
分析及解:f(-)=-+1>0,f(1)=->0,f(e)=--1>0,故由零點存在定理,可知在區間(1,e)內存在零點。但是在(-,1)內的零點狀況,無法從零點存在定理判斷,所以我們可以借助兩種方法判斷。
方法一:給f(x)求導,討論單調性。可以得到f'(x)=---=-,由此可知f(x)在區間(0,3)上為減函數,在區間(3,+∞)上為增函數,在點x=3處有極小值1-ln3<0。從而可以判斷在區間(-,1)上函數f(x)單調,由端點函數值同號,可知無零點。
方法二:利用零點交點轉化原理,即函數F(x)=f(x)-g(x)的零點個數即等價於兩個函數y=f(x)和y=g(x)的交點個數。故分別作出y=-x和y=lnx的圖象,考查其交點所在大致區間。如圖所示,故可以看出,交點共有兩個,即原函數的零點有兩個,在區間(-,1)內無零點。
這是近兩年在高考中出現的有關零點的問題。可以看出,這幾道題考查的都是有關零點存在定理的相關問題。題目出現在選擇題的2、4題,題目的難度相對較低,需要我們快速准確地解決,所以思路上一定要清楚,方法要准確。要特別注意,在使用零點存在定理時,如果區間端點值異號,必有零點,但如果區間端點值同號,則無法判斷。所以我們需要借助如例3的方法去判斷,借助導數研究函數的單調性和極值,或者利用零點交點轉化原理,轉化為交點問題用圖象解決。下面我們針對這兩類零點問題,再看下面幾個例題,從中體會這些方法的靈活應用。
例4:函數f(x)=ex--的零點所在區間是( )
A、(0,-) B、(-,1)
C、(1,-) D、(-,2)
分析及解:由單調性的判斷法則可以判斷,當x>0時,函數f(x)單調遞增,故只有唯一零點。又f(1)=e-1>0,f(-)=--2<0,從而零點在區間(-,1)內,故選B。
例5:若函數f(x)=ln(x+1)--的零點在區間(k,k+1)(k?Z)上,則k的值為______。
分析及解:由單調性的判斷,我們可以得到,當x>0時,函數f(x)單調遞增,當-1<x<0時,函數f(x)也單調遞增。由於區間(k,k+1)(k?Z)的端點都是整數,所以代入整數值驗證可以判斷。由f(1)=ln2-2<0,f(2)=ln3-1>0,可知零點在區間(1,2)內。
但是要注意,當-1<x<0時,由於兩個端點不能代入,給我們的判斷帶來了麻煩。而在單調性已知的情況下,求導也不能解決問題。所以我們需要改變方法,利用圖象來進行下面的判斷。
所以我們利用轉化的方法,把零點問題轉化成兩個函數y=ln(x+1)與y=-的交點問題。如圖所示:
從圖中很容易看出,在區間(-1,0)上,兩個函數有交點。從而,原函數f(x)有兩個零點,所在區間分別為(-1,0)及(1,2),故k=±1。
(下周四繼續刊登)
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