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南開翔宇學校
楊濱
進入初三,同學們都感到作業量增加,知識難度增大,但在數量龐大的作業題中,如何將知識分類細化,發現規律,查找漏洞,是能否在緊張的學習中取勝的關鍵之一。因此,本次把同學們在作業裡出現的易混淆、易出錯的幾道例題進行分析比較,和同學們共同探討。
例1
如圖所示,AD、DC、CB分別切半圓?O於點A、E、B,且AD=3cm,BC=5cm,求直徑AB的長度。
解:過點D作DF⊥CB於點F
∵AD、CB是切線
∴AD⊥AB,CB⊥AB
∴四邊形ABFD是矩形
∴DF=AB,AD=FB ∴CF=BC-FB=BC-AD=5-3=2cm
又∵AD、DC、CB是?O的切線,由切線長定理可知
∴AD=DE,CE=CB ∴CD=AD+CB=DE+CE=3+5=8cm
∴在Rt△DCF中,DF=-=-=2-cm
∴AB=2-cm
本題是典型的運用切線長定理的例題,其中直角梯形垂直於底的腰是上下底之和,再結合作高這種輔助線的做法,最後運用勾股定理求出直徑。
例2
如圖所示,CD切半圓?O於點E,AB為直徑,AD⊥CD,BC⊥CD且AD=3cm,BC=5cm,求CD的長度。
解:連接OE,過點A作AF⊥CB於點F
∵AD⊥CD,BC⊥CD
∴四邊形AFCD是矩形 ∴DC=AF,AD=CF
∴BF=BC-CF=BC-AD=5=3=2cm
又∵CD切半圓?O於點E ∴OE⊥CD於E
∵AD⊥CD,BC⊥CD
∴AD∥OE∥CB,且AB為直徑,O為圓心
∴點E是DC的中點
∴線段OE是梯形ABCD的中位線
∴OE=-(AD+BC)=4cm
∴AB=2OE=8cm
∴在Rt△ABF中,AF=-=-=2-cm
在做完例1後,同學們會認為例2和例1圖形很類似,是同類題,但實際差別較大。例2中只有一條圓的切線,所以不符合切線長定理的條件,因此梯形垂直於底的腰不是上下底之和,而是運用了梯形中位線的知識求出圓的半徑,再用勾股定理計算CD的長。
例3
相交兩圓的半徑為-和-,公共弦為4,求這兩個圓的圓心距。
解:本題分兩種情況
第一種情況,公共弦AB與連心線O1O2交於點C(即O1O2=O1C+O2C)
∵O1O2垂直平分弦AB ∴AC=2
∴在Rt△AO1C中,O1C=-=-=-
∴在Rt△AO2C中,O2C=-=-=1
∴O1O2=O1C+O2C=-+1
(下周三繼續刊登)
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