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2012招考金刊(六)
2009、2010年的天津中考題26題中都出現了三角形的面積,三角形的面積除了可以用基本面積公式來求,還有什麼其他方法呢?好的方法能讓我們把綜合題化難爲易,化繁爲簡,下面我們就來通過題目研究三角形面積的求法和轉換。
引例
1.如圖,二次函數y=x2-6x+5與x軸交於A、B兩點(A點在B點的左側),與y軸交於C點,頂點爲D點,求(1)S△ABC;(2)S△DBC 。
解:令y=0,x2-6x+5=0,∴x1=1,x2=5,由A點在B點的左側,所以A(1,0),B(5,0)。
令x=0,y=5,所以C(0,5)。
y=(x-3)2-4,所以頂點D(3,-4)
(1) S△ABC=-AB·CO=-×4×3=6
(2)設直線CD交x軸於點M,
直線CD解析式爲y=-3x+5,與x軸交點M(-,0),將△BCD分割爲△BCM、△BDM,S△DBC=-BM·|yC-yD|=-×-×9=15
圖形面積常用求法:①直接利用公式; ②割補法。
(3)已知點P(2,-3)在該拋物線上,請問:在該拋物線上是否存在一點Q,使得S△ABQ=S△ABP,若存在,畫圖說明點的位置(注:僅畫圖說明即可,不需求出點座標);若不存在,請說明理由。
解:存在點P,點P到x軸的距離是3,作到x軸的距離等於3的兩條平行線與拋物線交於點Q(除P外)。
圖形面積也可以利用方法③:平行線間等距,等面積轉換。
直擊中考
(2009年天津)26.已知函數y1=x,y2=x2+bx+c,,爲方程y1-y2=0的兩個根,點M(t,T)在函數y2的圖象上。(Ⅰ)若=-, =-,求函數y2的解析式;(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,若函數y1與y2的圖象的兩個交點爲A,B,當△ABM的面積爲-時,求t的值;
分析第(Ⅱ)問:
第(Ⅰ)問中可求出函數y2的解析式爲y2=x2+-x+-,與y1=x聯立,得A、B座標,AB=-
方法一:直接利用三角形面積公式,設△ABM的高爲h,
∴ S△ABM =-AB·h=-h=-,即-h=-。
根據題意,|t-T|=-h,由T=t2+-t+-,得|-t2+-t+-|=-。
當t2--t+-=--時,解得t1=t2=-;
當t2--t+-=-時,解得t3=-,t4=-。
∴t的值爲- ,-,-。
方法二:割補法,三角形的面積=-水平寬×鉛垂高。
過M作MN⊥x軸交直線AB於N,
S△ABM=-MN·|xA-xB|,同樣可以求解。
相關練習:在平面直角座標系中,O爲座標原點,已知拋物線C1:y=x2,點A(2,4)。
(Ⅰ)求直線OA的解析式;
(Ⅱ)直線x=2與x軸相交於點B,將拋物線C1從點O沿OA方向平移,與直線x=2交於點P,頂點M到A點時停止移動,設拋物線頂點M的橫座標爲m。
①當m爲何值時,線段PB最短?
②當線段PB最短時,相應的拋物線上是否存在點Q,使△QMA的面積與△PMA的面積相等,若存在,請求出點Q的座標;若不存在,請說明理由;
[答案]解:(Ⅰ)直線OA的解析式爲y=2x。
(Ⅱ)①當m=1時,線段PB最短.
②拋物線上存在點Q1(2+-,5+2-),Q2(2--,5-2-),使△QMA與△PMA的面積相等。
公式整理王翠瑋
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