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(接5日)
小結:消元法適用於自變量的對稱規律。互為倒數,如f(x)、f(-);互為相反數,如f(x)、f(-x),通過對稱代換構造一個對稱方程組,解方程組即得f(x)的解析式。
[題型五]賦值法
例5.設f(x)是R上的函數,且滿足f(0)=1,並且對任意實數x、y有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),求f(x)的解析式。
分析:由於這裡函數沒有給出具體的解析式,而只給出函數所滿足的一個恆等式,因此應從此恆等式入手。如何入手呢?不妨從特殊值入手解決。
解:方法一:由f(0)=1,f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)
令x=y,得f(0)=f(x)-x(2x-x+1)=f(x)-x(x+1)=1
∴f(x)=x2+x+1
方法二:令x=0
∴f(0-y)=f(0)-y(0-y+1)
∴f(-y)=1-y(1-y)=y2-y+1
再令x=-y ∴f(x)=x2+x+1
小結:①所給函數方程含有2個變量時,可對這2個變量交替用特殊值代入,或使這2個變量相等代入,再用已知條件,可求出未知的函數,至於取什麼特殊值,根據題目特征而定。②通過取某些特殊值代入題設中等式,可使問題具體化、簡單化,從而順利地找出規律,求出函數的解析式。
[題型六]利用函數性質求解析式
例6.f(x)是R上的偶函數,其圖象關於直線x=2對稱,且當x?(-2,2)時,f(x)=-x2+1,則當x?(-6,-2)時,求f(x)的解析式。
分析:解此題的關鍵是根據條件,把要求區間上的自變量取值轉化到已知區間上。
解:∵f(x)的圖象關於直線x=2對稱 ∴f(x)=f(4-x)
∵f(x)為偶函數
∴f(x)=f(-x)
∴f(4-x)=f(-x)
即f(4+x)=f(x)
∴f(x)的周期T=4
設x?(-6,-2)
則x+4?(-2,2)
∴f(x)=f(x+4)=-(x+4)2+1=-x2-8x-15
故當x?(-6,-2)時,f(x)=-x2-8x-15
求函數解析式的常用方法有:配湊法、換元法、待定系數法、消元法等。如果已知函數解析式的類型,可用待定系數法;已知復合函數解析式時,可用換元法,這時要注意『元』的取值范圍;當已知的表達式比較簡單時,可用配湊法;若已知抽象的函數表達式,根據題目的條件特征,可用賦值法或解方程組消元的方法求解析式。(完)
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