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(接3日)
例3.如圖,?O中,弦AB、CD相交於點P,若∠A=30°,∠APD=70°,則∠B等於( )
A.30° B.35°
C.40° D.50°
此題為2010年天津市中考題數學選擇第7題,本題意在考查『圓內角』與圓中角的關系,結合基本圖形(2)(6),弧BC所對的圓周角相等,即∠A=∠CDB,得到∠CDB=30°,故∠APD=∠B+∠CDB,則∠B=40°。
例4.如圖,AB為?O直徑,且AB=AC,∠C=70°,AC、BC分別交?O於D、E,則∠DOE的度數為______。
此題為等要三角形與圓中角相結合的一道題,由於AB為?O直徑,連結AE結合基本圖形(3)得到∠AEB=90°,因為AB=AC,∠C=70°,由等腰三角形三線合一的性質得到∠BAE=∠CAE=20°,再結合基本圖形(1)得到∠DOE的度數為40°。
例5.如圖,AD是△ABC外角∠EAC的平分線,交BC的延長線於點D,延長DA交△ABC的外接圓於點F,連FB、FC。求證:FB=FC
證明:∵∠EAD=∠FAB
∴∠FAB=∠FCB ∴∠EAD=∠FCB
∵∠FBC+∠FAC=180°
而∠CAD+∠FAC=180°
∴∠CAD=∠FBC ∴∠EAD=∠CAD
∴∠FCB=∠FBC ∴FB=FC
本題的關鍵步驟為∠CAD=∠FBC,而這一步正是基於基本圖形(4)而來。
例6.已知,如圖,-與-的度數之差為20°,弦AB與CD交於點E,∠CEB=60°,則∠CAB等於( )
A.50° B.45°
C.40° D.35°
此題為2007年天津市中考數學題選擇第8題,意在考查同學們關於基本圖形(6)的理解和掌握情況。答案為D.35°
例7.如圖,已知CA=CB=CD,過點A、C、D的?O交AB於F點。求證:CF平分∠BCD
證明:連結AD
∵CA=CD
∴∠D=∠3+∠4
∵∠5=∠D ∴∠5=∠3+∠4
∵∠5=∠2+∠B
∴∠3+∠4=∠2+∠B
∵CA=CB ∴∠3=∠B ∴∠4=∠2
∵∠4=∠1 ∴∠1=∠2
即CF平分∠BCD。
本題的證明方法是運用等腰三角形的性質結合基本圖形(2)(7)進行證明的。
圓一直是中考命題的熱點問題,題型以選擇題、填空題和解答題為主,分值約佔10%~15%。經過研究,我們發現近幾年天津市的中考數學試卷關於圓中角的考查主要出現在選擇題中,難度較小,因此我們對圓中角的掌握應以幾個基本圖形為主並能夠熟練運用其進行解題,明確中考的方向性。而對於圓中綜合題的處理我們發現僅靠一兩個性質的熟悉是不能夠將題目解出的,須對圓的各種性質及基本圖形非常熟悉,甚至要結合三角形、四邊形等其他知識纔能將題目解出。在此基礎上,需要提醒同學們注意在運用圓中角時,要關注弧的中介作用。同時對於以圓心為頂點的等腰三角形、圓心定為直徑的中點等已知條件的隱性,同圓或等圓中的弧、弦、弦心距、圓周角、圓心角之間的相等關系及相互轉換要敏銳,只有這樣結合我們原有的知識,纔能將圓的知識運用自如。(完)
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