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要點精講
現在,高三已經進入了一輪復習,函數自然是開篇復習的重頭戲,如何快速有效復習,把握復習節奏,重拾知識要點,對於高三的學子們至關重要。
函數部分知識點相對分散,考試題型多變,本身抽象性、題目綜合性強,在多道題中都有所涉及,是我們所常說的學習和復習難點之一。針對函數部分的復習,我們應該強化高考題型,淡化復雜難解的純函數題型,增加函數與導數、不等式等相關知識的綜合性練習,纔能做到有的放矢,也有利於養成解決函數問題的良好思路和習慣。
首先我們來研究分段函數。分段函數是我們在學習函數的第一節時就學習到的內容,它不是一個具體的函數,但卻是一種重要的函數形式,是考查多個知識點的良好函數載體。所以在平時的學習中,熟悉分段函數的表示形式以及常見題型和解法,是十分必要的。下面我們不妨先來看下面幾道例題:
例1:(2008年天津卷文8)已知函數f(x)=x+2,x0-x+2,x>0,則不等式f(x)x2的解集是( )
A、[-1,1] B、[-2,2]
C、[-2,1] D、[-1,2]
分析:此題考查的是分段函數求解不等式,需要注意對范圍的分類討論。
解:依題意得:x0x+2x2或x>0-x+2x2,解得-1x0或0<x1,從而-1x1。故選A。
例2:(2008年天津卷理8)已知函數f(x)=-x+1,x<0x-1,x0,則不等式x+(x+1)f(x+1)1的解集是( )
A、{x|-1x--1}
B、{x|x1}
C、{x|x--1}
D、{x|---1x--1}
分析:此題考查的同樣是分段函數求解不等式,但其中除了針對范圍的討論外,還涉及對復合函數f(x+1)解析式以及定義域求解方面的考查,較之文科題目,難度明顯加大。
解:依題意得:f(x+1)=-x,x<-1x,x-1,
將其代入不等式可得:x<-1x-x(x+1)1或x-1x+x(x+1)1,解得x<-1或-1x--1,從而x--1。故選C。
總結:這兩道題都是2008年的高考題,從2008年開始,分段函數被放在選擇題第8題的位置,成為近3年來高考函數部分的熱門題型。其考核內容也從開始階段單純涉及不等式的求解,慢慢演變成為更復雜、更多元考查函數性質的綜合題型。
例3:(2009年天津卷文8)設函數f(x)=x2-4x+6,x0x+6,x<0,則不等式f(x)>f(1)的解集是( )
A、(-3,1)∪(3,+∞)
B、(-3,1)∪(2,+∞)
C、(-1,1)∪(3,+∞)
D、(-∞,-3)∪(1,3)
分析:此題考查分段函數的函數值及不等式求解,同樣需要針對不同范圍進行討論。
解:依題意得f(1)=3,則不等式化為:x0x2-4x+6>3或x<0x+6>3,解不等式可得:x>3或0x<1或-3<x<0,從而x>3或-3<x<1。故選A。
例4:(2009年天津卷理8)函數f(x)=x2+4x,x04x-x2,x<0,若f(2-a2)>f(a),則實數a的取值范圍是( )
A、(-∞,-1)∪(2,+∞)
B、(-1,2)
C、(-2,1)
D、(-∞,-2)∪(1,+∞)
分析:此題主要考查的是分段函數單調性問題的運用,需要借助定義或者圖象判斷單調性,再利用單調性解決不等式問題。
解:由題目分析可知f(x)為奇函數,且在R上是增函數,從而由題目條件得2-a2>a,解得-2<a<1。從而選C。
總結:這兩道題為2009年的高考題。文科題相比2008年,增加了對求解分段函數函數值的考查,總體難度變化不大。而理科題的考查直接涉及對函數性質的考查,而不再是單純考查分段討論求解不等式。應該說,題目中只考查了單調性的使用,尚未考查奇偶性,如果題目做簡單變換,例如改不等式為f(2-a2)+f(a)>0,那麼將會進一步提昇考查的范圍難度。
例5:(2010年天津卷文10)設函數g(x)=x2-2(x?R),f(x)=g(x)+x+4,x<g(x)g(x)-x,xg(x),則f(x)的值域是( )
A、[--,0]∪(1,+∞)
B、[0,+∞)
C、[--,+∞)
D、[--,0]∪(2,+∞)
分析:此題考查的是分段函數中有關二次函數的值域問題。
解:將g(x)的解析式代入分段函數,可得f(x)=x2+x+4,x>2或x<-1x2-x-2,-1x2。從而f(x)兩部分都為二次函數,分別求解值域:x2+x+4=(x+-)2+-x>2或x<-1,故值域為(2,+∞);x2-x-2=(x--)2--,故值域為[--,0]。
從而f(x)的值域為[--,0]∪(2,+∞)。故選D。
(周六繼續刊登)
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