|
||||
(接2010年12月24日)
三、請看下面這道最新的2010年昆明中考25題(12分):在平面直角坐標系中,拋物線經過O(0,0)、A(4,0)、B(3,--)三點。
(1)求此拋物線的解析式;
(2)以OA的中點M為圓心,OM長為半徑作?M,在(1)中的拋物線上是否存在這樣的點P,過點P作?M的切線l,且l與x軸的夾角為30°,若存在,請求出此時點P的坐標;若不存在,請說明理由。(注意:本題中的結果可保留根號)
解答:(1)設拋物線的解析式為:
y=ax2+bx+c(a≠0)
由題意得:-
解得:a=-,b=--,c=0
∴拋物線的解析式為:
y=-x2--x
(2)存在
拋物線y=-x2--x的頂點坐標是(2,--),作拋物線和?M(如圖),設滿足條件的切線l與x軸交於點B,與?M相切於點C,連接MC,過C作CD⊥x軸於D
∵MC=OM=2,∠CBM=30°,CM⊥BC
∴∠BCM=90°,∠BMC=60°,BM=2CM=4,∴B(-2,0)
在Rt△CDM中,∠DCM=∠CDM- ∠CMD=30°
∴DM=1,CD=-=-
∴C (1,-)
設切線l的解析式為:
y=kx+b(k≠0),點B、C在l上,可得:
-
解得:k=-,b=-
∴切線BC的解析式為:
y=-x+-
∵點P為拋物線與切線的交點
由-
解得:-
∴點P的坐標為:
P1(--,-),P2(6,-)
∵拋物線y=-x2--x的對稱軸是直線x=2,此拋物線、?M都與直線x=2成軸對稱圖形,於是作切線l關於直線x=2的對稱直線l′,得到B、C關於直線x=2的對稱點B1、C1,l′滿足題中要求,由對稱性,得到P1、P2關於直線x=2的對稱點:
P3(-,-),P4(-2,-)即為所求的點。
∴這樣的點P共有4個:
P1(--,-),P2(6,-)
P3(-,-),P4(-2,-)
(周五繼續刊登)