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新課程改革以來直角坐標系中的變換題在中考命題中備受青睞,這也是本市2009年中考試題重要變化之一。試題在設計中往往是一種或幾種變換交織在一起,但只要利用這些變換的不變性去研究函數等問題就會迎刃而解,下面以部分題目舉例說明,供大家參考。
一、軸對稱變換
例1
2009年天津市中考25題
已知一個直角三角形紙片OAB,其中∠AOB=90°,OA=2,OB=4,如圖,將該紙片放置在平面直角坐標系中,折疊該紙片,折痕與邊OB交於點C,與邊AB交於點D。
(Ⅰ)若折疊後使點B與點A重合,求點C的坐標;
(Ⅱ)若折疊後點B落在邊OA上的點為B',設OB'=x,OC=y,試寫出y關於x的函數解析式,並確定y的取值范圍;
(Ⅲ)若折疊後點B落在邊OA上的點為B'',且使B''D∥OB,求此時點C的坐標。
分析:(Ⅰ)中可利用軸對稱的性質得出CA=CB,在Rt△OAC中用勾股定理即可求出點C的坐標;
(Ⅱ)在Rt△B'OC中用勾股定理得出y關於x的函數解析式,並由0?OB'?2,求出y的取值范圍。
(Ⅲ)易證CB''∥BA和Rt△COB''?Rt△BOA從而得出OC=2OB'',結合(Ⅱ)的結論,求出點C的坐標。
解
(Ⅰ)如圖2,折疊後點B與點A重合,則△ACD?△BCD
設點C的坐標為(0,m)(m>0)
則BC=OB-OC=4-m
於是AC=BC=4-m
在Rt△AOC中,由勾股定理,得AC2=OC2+OA2
即(4-m)2=m2+22,解得m=-
∴點C的坐標為(0,-)
(Ⅱ)如圖3,折疊後點B落在OA邊上的點為B',則△B'CD?△BCD
由題設OB'=x,OC=y
則B'C=BC=OB-OC=4-y
在Rt△B'OC中,由勾股定理,得B'C2=OC2+OB'2
∴(4-y)2=y2+x2
即y=--x2+2
由點B'在邊OA上,有0?x?2
∴解析式y=--x2+2(0?x?2)為所求
∵當0?x?2時,y隨x的增大而減小
∴y的取值范圍為-?y?2
(Ⅲ)如圖4,折疊後點B落在OA邊上的點為B'',且B''D∥OB,則∠OCB''=∠CB''D
又∵∠CBD=∠CB''D
∴∠OCB''=∠CBD,有CB''∥BA
∴Rt△COB''?Rt△BOA
有-=-,得OC=2OB''
在Rt△B''OC中,
設OB''=x0(x0>0),則OC=2x0
由(Ⅱ)的結論,得2x0=--x02+2,解得x0=-8±4-
∵x0>0 ∴x0=-8+4-
∴點C的坐標為(0,8--16)
點評
本題為關於軸對稱的綜合題,綜合考查軸對稱的性質、函數的思想以及相似三角形的判定和性質。在翻折的過程中,抓住線段和對應角的大小保持不變這一性質,問題就能夠迎刃而解,有利於培養同學們動手和實踐操作能力。(周五繼續刊登)