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(接4日)
總結:此題的切入點是函數的奇偶性,隨著解題過程的深入,問題逐漸轉化為求解復雜方程的根的和的問題,不禁會讓我們聯系到闡述根與系數關系的韋達定理。隨著方程的化簡和變換,可以轉化為兩個二次方程,利用韋達定理,問題自然迎刃而解。所以,在解題過程中,很可能會出人意料,需要我們在找到切入點之後,隨著問題的解決過程,聯系其他知識點,轉化命題要求,繼續解題過程,完成解題目標。
例7:設函數y=f(x)為定義在R上的奇函數,且滿足f(x-2)=-f(x)對一切x?R都成立,當-1?x?1時,f(x)=x3,則下列四個命題:
(1)f(x)是以4為周期的周期函數;
(2)f(x)圖象的對稱軸中,有x=±1;
(3)f(x)在x?[1,3]的解析式為f(x)=(2-x)3;
(4)f(x)在x?[3,5]的解析式為f(x)=(x-4)3,其中正確命題的個數為( )
A、1 B、2 C、3 D、4
分析:此題是函數性質綜合問題,包含了奇偶性、單調性、周期性以及求解函數解析式的多方面知識點,是一道綜合性較強的問題。需要先轉化已知條件,完整得到函數性質,再根據已知定義域部分的解析式,求出和已知區間呈對稱或周期的區間內的其他解析式。
解:由於函數y=f(x)為定義在R上的奇函數,且滿足f(x-2)=-f(x)。所以,f(x-2)=f(-x),故x=-1為函數圖象的一條對稱軸。
又f(x+2)=-f[(x+2)-2]=-f(x)=f(-x),故x=1也是函數圖象的一條對稱軸,且f(x+2)=f(x-2),故函數為周期函數,周期為4。
當x?[1,3]時,可知-1?2-x?1,於是f(x)=f(2-x)=(2-x)3
當x?[3,5]時,可知-1?x-4?1,故而f(x)=f(x-4)=(x-4)3
由以上分析可知,四個命題都是正確的,故選D。
總結:在求解解析式的時候,要充分利用已知區間上的解析式,把未知區間上的自變量值經過變換轉化為已知區間內的值,例如此題中,已知區間為[-1,1],要求解析式區間為[1,3],故我們要將任意x?[1,3],利用變換2-x,可知2-x?[-1,1],故可以代入解析式,從而得到f(2-x)=(2-x)3,再利用對稱性,即可得到f(x)的解析式。
例8:定義在R上的函數f(x)既是奇函數又是周期函數,T是它的一個正周期。若將方程f(x)=0在閉區間[-T,T]上的根的個數記為n,則n可能為( )
A、0 B、1 C、3 D、5
分析:此題是考查奇偶性和周期性綜合的問題,需要進行推導,如果僅僅從表面的現象來看,就很容易出現錯誤。
解:由f(x)為奇函數,故f(0)=0,又周期為T,很容易得到f(-T)=0,f(T)=0。故有三個零點可以確定。但我們可以考慮,如果周期為T,函數又為奇函數,其必有多個對稱軸和對稱中心。我們不難發現,x=-即為對稱軸。故f(-)=f(0)=0,同理,f(--)=0,故函數f(x)共會有5個零點,即f(x)=0的根的可能個數為5。故選D。
總結:函數周期性和對稱性相結合的時候,我們要注意其會出現多個對稱軸和對稱中心,需要我們更多關注,避免錯誤。此題若從函數值角度考慮,由奇函數,f(-)=f(--),由周期性,f(-)=f(--),故綜合可知,兩個值都為0。同樣不難驗證。
本篇中選擇的幾個例題,和函數多個性質的綜合有一定聯系,希望同學們能夠學會周期性和奇偶性、對稱性之間的這種聯系規律,能夠處理好這種類型的函數性質綜合題。
(完)
和平區教研室賈浦東老師撰寫的文章——『分層判斷化學平衡狀態』下周四繼續刊登。——編者