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有同學通過QQ詢問下面的數學題,我們請南開翔宇學校的楊濱老師來回答。
問:把一個正方形分成4個等腰三角形,有幾種分法?
答:正方形既是矩形又是菱形,是最特殊的平行四邊形。正方形可以分割成兩個、三個、四個或者更多個等腰三角形,這樣不但可以對正方形和等腰三角形的性質加深理解,還能體會到平面幾何圖形的美感。本次以分割成四個等腰三角形為例,簡要地介紹以下四種分割方法:
第一種,連結兩條對角線,交於點P,得到四個全等的等腰直角三角形(△PAB、△PBC、△PCD、△PDA)。
第二種,取正方形的一條對角線的中點P,連結CP,過點P作PQ⊥CD於點Q,得到四個大小不等的等腰直角三角形。(△ABD、△PBC、△PCQ、△PDQ)
第三種,以正方形一邊為邊,在正方形內部作等邊三角形PBC,連結PA、PD,得到兩個頂角為30°的等腰三角形(△ABP、△PCD),一個頂角為150°的等腰三角形(△PAD)和一個等邊三角形(△PBC)。
第四種,連結一條對角線,以點D為圓心,以正方形邊長為半徑作弧,與對角線交於點P,連結CP,再過點P作對角線BD的垂線PQ交BC於點Q。得到兩個等腰直角三角形(△ABD、△PBQ),一個頂角為45°的等腰三角形(△DPC)和一個頂角為135°的等腰三角形(△PQC)。
值得一提的是,第三種分割方法中提到的點P共有四個位置可以選取,即分別以正方形的四個頂點為圓心,以正方形邊長為半徑作圓,四個圓在正方形內部的四個交點P1、P2、P3、P4,均可以依據方法三中的敘述構造四個等腰三角形;另外這四個圓在正方形外部的四個交點P5、P6、P7、P8分別與正方形的頂點連結,也可以得到四個等腰三角形,只不過不符合本題要求,可以在以後的學習中應用這一結論。
正方形分割成等腰三角形的方法有很多,利用尺規作圖的方法可以把這些圖形構造出來。請同學們自己動手試試看吧!