(接2日)

　　7.單調性——利用已知函數的單調性求值域

　　利用函數的單調性來解決最值問題應該是最直接的方法，除了我們研究的常見函數外，大家應特別注意y=x+-這種形式函數的單調性。經常會遇到用平均不等式後發現等號不成立，故需要用到函數的單調性。

　　例1.y=x--，求y的值域。

　　解：易得y=x--在(-∞，-]上為增函數

　　∴ y---=-

　　∴值域為(-∞，-]

　　例2.y=-，求y的值域。

　　解：①錯解

　　y=-+-2-

　　當且僅當-=-即x?Φ，此等號不能成立。

　　∴值域為(2-，+∞)

　　②正解y=-+-

　　換元令-=t(t?2)

　　y=t+-?2+-=3

　　∴值域為[3，+∞)

　　注：利用對勾函數的單調性。

　　8.數形結合

　　例1.y=|x-3|+|x+3|，求y的值域。

　　解：『零點分段法』去掉絕對值符號，化簡函數，得到函數圖象。

　　①當x?3時，y=-(x-3)-(x+3)=-2x

　　②當-3

　　③當x?3時，y=(x-3)+(x+3)=2x

　　-

　　∴值域為[6，+∞)

　　例2.y=-，求y的值域。

　　解：可以理解為點(3，2)與(-cosx，sinx)的斜率，由曲線方程知識可知(-cosx，sinx)的軌跡為x2+y2=1，因此函數的值域可轉化為點(3，2)與圓x2+y2=1上點所連直線的斜率的取值范圍。

　　①設過(3，2)點的直線為y-2=k(x-3)

　　(注：點斜式設直線方程是認為k存在，不要忘了考慮k不存在的情況)

　　∵原點到直線的距離為1

　　∴-=1→k=-

　　∴-?y?-

　　②當k不存在，過(3，2)的直線x=3與圓不相交

　　∴綜上，值域為[-，-]

　　9.利用導數

　　例.y=x--，求y的值域。

　　解：令y'=(x--)=1+-=0

　　得到x=--，又-1?x?1

　　∵f(--)=--，f(-1)=1，f(1)=1

　　∴值域為[--，1]

　　函數求值域的方法多種多樣，有時一題可以有多種解決方法，因此根據函數解析式的結構特點選擇相應的方法，若函數解析式是分式形式，且分子、分母都為一次，可考慮常量分離法；若函數與二次函數有關，可用數形結合法利用函數圖象；若解析式中含有根式可考慮換元法或單調性法；若解析式結構與均值不等式有關，可利用均值定理法或對勾函數單調性法。總之，熟練掌握各種求值域的方法，對於我們今後解決一些函數的綜合問題是有很大幫助的。

　　(完)